Boutsman.be

Vervangingsweerstand

Vaak is het nuttig om een volledig of een deel van een circuit voor te stellen als 1 weerstandswaarde. Deze waarde noemen we de vervangingsweerstand en noteren we aan als R_v.

Deze sectie leert technieken aan om de vervangingsweerstand, spanningen en stromen te berekenen in schakelingen met veel weerstanden.

Serieschakelingen

Weerstanden in serie worden opgeteld
Spanningen in serie worden opgeteld
Een stroom in serie blijft even groot doorheen alle componenten.

Voorbeeld 1: 2 identieke weerstanden

Stel we hebben het circuit rechts met 2 weerstanden van 1kΩ in serie, aangesloten op een 12V spanningsbron. Om de spanningsval over elke weerstand te bepalen moet eerst de vervangingsweerstand gekend zijn.

Weerstanden in serie mogen worden opgeteld. Dit resulteert is:

$LaTeX: R_v=R_1+R_2=1000+1000=2k\Omega$

Indien we dit controleren door de voeding los te koppelen en dit nameten door onze multimeter parallel over de weerstanden te plaatsen dan geeft de meter ook 2kΩ aan.

Eenmaal de vervangingsweerstand gekend is berekenen we de stroom.

$LaTeX: I=\frac{U}{R_T}=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{12}{1000+1000}=6mA$

Nu de stroom gekend is kan de spanningsval over iedere weerstand berekend worden.

We berekenen de spanning voor de eerste weerstand met de wet van Ohm:

$LaTeX: U_{R1}=I\cdot R_1=0.006\cdot1000=6V$

Aangezien we 2 dezelfde weerstanden hebben waar dezelfde stroom door vloeit zal elke weerstand ook dezelfde spanningsval hebben.

$LaTeX: U_{R2}=I\cdot R_2=0.006\cdot1000=6V$

Wat opvalt is dat beide componenten dezelfde spanningsval hebben.

Indien we gebruik maken van identieke weerstanden zal de de bronspanning zich gelijk verdelen over deze componenten. We kunnen dan simpelweg de bronspanning delen door het aantal weerstanden om de spanningsval over elke weerstand te bekomen.

$LaTeX: U_{R1}=U_{R2}=I\cdot R_1=6V$

Ter controle berekenen tellen we op of de spanningsvallen overeen komen met de spanning die de bron levert:

$LaTeX: V_1=U_{R1}+U_{R2}=6+6=12V$

De berekening klopt dus!

Voorbeeld 2: 3 identieke weerstanden

Stel we hebben het circuit rechts met 3 weerstanden van 1kΩ in serie, aangesloten op een 12V spanningsbron. Om de spanningsval over elke weerstand te bepalen moet eerst de vervangingsweerstand gekend zijn.

Weerstanden in serie mogen worden opgeteld. Dit resulteert is:

$LaTeX: 1k+1k+1k=3k\Omega$

Indien we de voeding loskoppelen en dit nameten door onze multimeter parallel over de weerstanden te plaatsen geeft de meter ook 3kΩ aan.

Eenmaal de vervangingsweerstand gekend is berekenen we de stroom.

$LaTeX: I=\frac{V}{R}=\frac{12}{3000}=0.004A=4mA$

Nu de stroom gekend is kan de spanningsval over iedere weerstand berekend worden.

Aangezien we 3 dezelfde weerstanden hebben waar dezelfde stroom doorvloeit zal elke weerstand ook dezelfde spanningsval hebben. We kunnen dan simpelweg de bronspanning delen door 3.

V = E/3 = 12/3 =4V

We controleren dit met de wet van ohm.

V = I*R = 0.004*1000 = 4V

Voorbeeld 3: 2 verschillende weerstanden

In dit geval bestaat het circuit uit 2 verschillende weerstanden. De spanningsvallen zullen dus niet gelijk zijn.

Ook nu starten we met het berekenen van de vervangingsweerstand.

$LaTeX: R_v=R_1+R_2=1000+2000=3k\Omega$

In deze stap bepalen we de stroom.

$LaTeX: I=\frac{U}{R}=\frac{V_1}{R_v}=\frac{12}{3000}=4mA$

In deze stap bepalen we de spanningsvallen voor iedere individuele weerstand.

$LaTeX: U_{R1}=I\cdot R_1=0.004\cdot1000=4V$

$LaTeX: U_{R2}=I\cdot R_2=0.004\cdot2000=8V$

Controle: alle spanningsvallen moeten gelijk zijn aan de bronspanning:

$LaTeX: V_1=U_{R1}+U_{R2}=4+8=12V$

Voorbeeld 4: 3 verschillende weerstanden

In dit geval bestaat het circuit uit 3 verschillende weerstanden. De spanningsvallen zullen dus niet gelijk zijn.

Ook nu starten we met het berekenen van de vervangingsweerstand.
$LaTeX: 1K+2K+500=3.5k\Omega$

In deze stap bepalen we de stroom en spanningsvallen voor iedere individuele weerstand.

$LaTeX: I=\frac{V}{R}=\frac{12}{3500}=0.0034286A=3.43mA$

$LaTeX: V_1=I\cdot R_1=0.00343\cdot1000=3.43V$

$LaTeX: V_2=I\cdot R_2=0.00343\cdot2000=6.86V$

$LaTeX: V_3=I\cdot R_3=0.00343\cdot500=1.715V$

Controle: alle spanningsvallen moeten gelijk zijn aan de bronspanning:

LaTeX: V_1+V_2+V_3=3.43+6.86+1.715=12.005=12V

De 0.005 extra ontstond in de afronding van de stroom.

Samengevat

Bij een serieschakeling:

mag je alle weerstanden in serie optellen
is de stroom door alle weerstanden even groot
Verdeelt de bronspanning zich over de weerstanden

Parallel schakelingen

Het omgekeerde van de serieweerstand is gelijk aan de som van de individueel omgekeerde weerstanden

$LaTeX: \frac{1}{Rv}=\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+...+\frac{1}{Rn}$

Indien we enkel over 2 weerstanden spreken kan de formule vereenvoudigd worden tot:

$LaTeX: R_v=\frac{\left(R1\cdot R2\right)}{R1+R2}$

Spanningen in parallel blijven constant

Een stroom splitst zich in de knooppunten van het circuit.

Voorbeeld 1: identieke weerstanden

Dit circuit bestaat uit 2 parallel weerstanden.

De 2 knooppunten waar de weerstanden verbonden zijn staan onder dezelfde spanning. Elke weerstand heeft dus dezelfde spanningsval. In dit geval de bronspanning. Bij gemengde schakelingen zal dit vaak niet de bronspanning zijn.

$LaTeX: V_{R1}=V_{R2}=V_{cc}$

De vervangingsweerstand bepalen we met de formule voor 2 weerstanden.

$LaTeX: R_v=\frac{R1\cdot R2}{R1+R2}=\frac{1000\cdot1000}{1000+1000}=\frac{10000000}{2000}=500\Omega$

Dit is de helft van de waarde van 1 weerstand. Bij identieke weerstanden in parallel mag je dus altijd de waarde van 1 weerstand delen door het aantal weerstanden om de vervangingsweerstand te berekenen.

Aangezien beide weerstanden even groot zijn en dezelfde spanningsval hebben zullen ook de stromen erdoor gelijk zijn. We berekenen de stroom door beide weerstanden:

$LaTeX: I1=I2=\frac{Vcc}{R1}=\frac{5}{1000}=5mA$

De totale stroom is dat de som van deze 2 stromen.

LaTeX: I=I1+I2=0.005+0.005=10mA

Dit kunnen we controleren met de vervangingsweerstand:

$LaTeX: I=\frac{Vcc}{R_v}=\frac{5}{500}=\frac{10}{1000}=10mA$

Voorbeeld 2: verschillende weerstanden

Het verhaal van de spanning is analoog aan het vorige voorbeeld, de spanning in het knooppunt staat over de 2 weerstanden.

$LaTeX: V_{R1}=V_{R2}=V_{cc}$

De vervangingsweerstand bepalen we weer met de formule voor 2 weerstanden.

$LaTeX: R_v=\frac{R1\cdot R2}{R1+R2}=\frac{1000\cdot2000}{1000+2000}=\frac{2000000}{3000}=667\Omega$ (na afronding)

De stroom bepalen we eerst door de wet van ohm toe te passen op beide weerstanden.

$LaTeX: I_1=\frac{V_{R1}}{R1}=\frac{5}{1000}=5mA$

$LaTeX: I_2=\frac{V_{R2}}{R2}=\frac{5}{2000}=2.5mA$

De totale stroom die de bron moet leveren is dus:

LaTeX: I=I_1+I_2=0.005+0.0025=7.5mA

Dit controleren we met de vervangingsweerstand en bronspanning:

$LaTeX: I=\frac{V_{cc}}{R_v}=\frac{5}{667}=7.5mA$ (na afronding)

Gemengde schakelingen

Voorbeeld 1

We hebben een schakeling met 3 weerstanden.

We kunnen dit eenvoudiger bekijken indien we dit beschouwen als een weerstand in serie met een parallelschakeling van 2 weerstanden. Om dit circuit te reduceren tot zijn vervangingsweerstand is het het ;akkelijst te beginnen met de parallel weerstanden.

We berekenen de vervangingsweerstand van R2 en R3. Aangewien dit 2 identieke weerstanden zijn in parallel mogen we de waarde van 1 weerstand halveren. We controleren we met de formule of onze redenering klopt.

$LaTeX: R'_v=\frac{R_2\cdot R_3}{R_2+R_3}=\frac{1000\cdot1000}{1000+1000}=500\Omega$